FERNANDO FERREIRA FERNANDO FERREIRA Estruturas de Dedekind-Peano. A construção dos números inteiros e racionais. A insuficiência dos números racionais. A construção dos números reais. A unicidade dos números reais. Noções básicas de cardinalidade: o numerável e o contínuo. Os teoremas de Cantor e de Schroeder-Bernstein. Aritmética cardinal básica. O paradoxo de Russell. Teoria axiomática dos conjuntos: as teorias Z e ZFC. O axioma da escolha. Boas ordens. Indução e recursão transfinita. Ordinais de von Neumann. Aritmética ordinal. O colapso duma boa ordem. O número de Hartogs dum conjunto. O lema de Zorn e seus equivalentes. Filtros e ultrafiltros. Os números aléfes. O universo cumulativo.
Para um programa mais detalhado e bibliografia, pode consultar aqui. O programa deste ano pode sofrer ligeiras alterações.
Fernando Ferreira:
Gabinete 6.2.8 do edifício C6 da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
Telefone: 217500294.
E-mail: ferferr@cii.fc.ul.pt
Aulas teóricas + aulas teórico-práticas: 2ª e 4ª feiras, 8h-10h30m. Sala 6.2.44 (2º feira) e sala 6.2.45 (4º feira).
Veja neste sítio. Também pode obter os apontamentos no serviço de reprografias REPRO2000 sito no Piso 1 do Edifício C6, Sala 6.1.38 (2ª a 6ª feira, 10h-13h e 15h-18h).
Os capítulos de 9 a 13 dos apontamentos foram ligeiramente reformulados. A nova versão destes capítulos pode ser descarregada aqui. Há uma nova versão do capítulo 22. Há também uma nova versão do capítulo 23 e uma nova versão do capítulo 25.
A avaliação é cumulativa e é constituída por duas componentes.
A primeira componente consiste de cinco mini-testes, de 30m cada, nos dias 11/3, 25/3, 22/4, 13/5 e 27/5. Cada mini-teste vale 1 valor, mas a nota mais baixa é descartada. Esta componente vale, ao todo, 4 valores.
Os minitestes podem ser descarregados aqui: 1, 2, 3, 4 e 5.
A segunda componente é o exame final escrito. O exame vale 16 valores. O Professor reserva-se o direito de efectuar exame oral a um aluno se o considerar necessário.
Note-se que não há nota mínima para o aluno se apresentar a exame final. Porém, o exame final vale apenas 16 valores.
Caso excepcional: Os alunos trabalhadores-estudantes e casos similares devidamente registados na secretaria podem optar por fazer apenas o exame final, caso em que este vale 20 valores. Desde que um aluno nesta situação opte por fazer qualquer mini-teste, automaticamente prescinde desta opção.
AULA 1 [16/2] Apresentação. Descrição breve da disciplina e da avaliação. Estruturas de Dedekind-Peano. Enunciado do teorema da recursão de Dedekind. Definição de soma. Propriedades básicas.
AULA 2 [18/2] Definição de produto. Propriedades básicas. Definição da ordem nos números naturais. Propriedades básicas.
AULA 3 [2/3] O princípio do mínimo. O princípio da indução completa. Demonstração do teorema da recursão de Dedekind.
AULA 4 [4/3] Unicidade (a menos de isomorfismo) das estruturas de Dedekind-Peano. Breve introdução à insuficiência dos números racionais para modelar a noção de continuidade.
AULA 5 [9/3] Construção dos números racionais positivos. Propriedades básicas e imersão dos naturais positivos nos racionais positivos. Continuidade nos racionais. Não há número racional cujo quadrado seja 2.
AULA 6 [11/3] Primeiro mini-teste. Resolução do mini-teste. O princípio do supremo. O princípio do supremo falha nos números racionais. Cortes de Dedekind. Cortes racionais e irracionais.
AULA 7 [16/3] Ordem nos cortes de Dedekind. O princípio do supremo vale nos cortes de Dedekind. Soma e multiplicação de cortes de Dedekind. O lema que diz que dado um corte de Dedekind há racionais no corte e fora do corte tão próximos quanto se queira.
AULA 8 [18/3] Aula cancelada.
AULA 8a [19/3] A aritmética dos cortes de Dedekind.
AULA 9 [23/3] Continuação da aula anterior. Construção do corpo ordenado dos números reais a partir dos reais positivos (cortes de Dedekind).
AULA 10 [25/3] Segundo mini-teste. Resolução do mini-teste. O princípio do supremo vale no corpo ordenado dos reais. Observações acerca do teorema do valor intermédio.
AULA 11 [30/3] Corpos arquimedianos. Um corpo ordenado em que vale o princípio do supremo é arquimediano. O corpo dos reais é o único (a menos de isomorfismo) corpo ordenado em que vale o princípio do supremo.
AULA 12 [1/4] Equipotência. O axioma da escolha (necessário para mostrar que uma função sobrejectiva tem inversa à direita). Conjuntos finitos.
AULA 13 [6/4] Conjuntos infinitos e infinitos à Dedekind. Enumerabilidade e numerabilidade. Exemplos.
AULA 14 [15/4] O teorema de Cantor. A cardinalidade dos reais. O teorema de Schroeder-Bernstein.
AULA 15 [20/4] O teorema da Cantor no caso geral. Menção do teorema da cardinalidade de König. Operações sobre cardinais (sem cardinais...): soma, produto, exponenciação. Propriedades básicas. Propriedades das cardinalidades numerável e contínua. Menção da lei da absorção e seus corolários.
AULA 16 [22/4] Terceiro mini-teste. O paradoxo de Russell. A axiomática de Zermelo (teoria Z): axiomas da extensionalidade e da separação. Notas sobre a necessidade de formalização. Os axiomas do par e da união. O par ordenado de Kuratowski.
AULA 17 [27/4] O axioma das partes. Conjuntos indutivos e o axioma do infinito. Em Z demonstra-se a existência duma estrutura de Dedekind-Peano. O axioma da substituição.
AULA 18 [29/4] O axioma da fundação. Consequências simples. A teoria ZF. O axioma da escolha e seus enfraquecimentos: o axioma da escolha numerável e o axioma das escolhas dependentes. A teoria ZFC.
AULA 19 [4/5] Boas-ordens. Exemplos. Elemento zero, elementos sucessor e elementos limite duma boa ordem. Nenhuma boa ordem é isomorfa a um seu segmento inicial próprio.
AULA 20 [6/5] Indução e recursão transfinita numa boa-ordem. Conjuntos transitivos. O fecho transitivo dum conjunto.
AULA 21 [11/5] Ordinais de von Neumann. Propriedades básicas. O paradoxo de Burali-Forti.
AULA 22 [13/5] Quarto mini-teste. Ordinais sucessor e ordinais limite. Indução e recursão transfinita nos ordinais. Soma, produto e exponenciação ordinal. Exemplos.
AULA 23 [18/5] A função colapso duma boa-ordem num ordinal. Consequências. O número de Hartogs dum conjunto.
AULA 24 [20/5] Ordens parciais completas para cadeias. O teorema do ponto fixo de Zermelo. O teorema do ponto fixo mínimo para (endo)funções monótonas duma ordem parcial completa para cadeias.
AULA 25 [25/5] O princípio da cadeia maximal. O lema de Zorn. Notas sobre o uso do axioma da escolha na prática matemática. O exemplo da existência de bases de Hamel.
AULA 26 [27/5] Quinto mini-teste. Notas várias. O exemplo de Vitali dum conjunto não mensurável.
AULA 27 [1/6] Equivalências ao axioma da escolha: o princípio da cadeia maximal, o lema de Zorn, o princípio da boa-ordenação e o princípio da comparabilidade de cardinalidades. Números cardinais. Números alefes. A operação (definida em ZFC) que a cada conjunto faz corresponder o seu número cardinal.
AULA 28 [3/6] O produto cartesiano dum alefe consigo próprio é equipotente ao alefe dado. O universo cumulativo. E-indução. Na presença do axioma da fundação, todo o conjunto está no universo cumulativo. FIM.